图1模拟pid控制
这里，pid控制器的离散化，下两节分别讨论pid算法改进和参数整定过程。
pid控制器是一种线性调节器，这种调节器是将系统的给定值r与实际输出值y构成的控制偏差e=r-y的比例、积分、微分，通过线性组合构成控制量(如图5.10所示)，所以简称p(比例)i(积分)d(微分)控制器。
连续控制系统中的模拟pid控制规律为
　(1)
式中，u(t)是控制器的输出，e(t)是系统给定量与输出量的偏差，kp是比例系数，ti是积分时间常数，td是微分时间常数。
相应的传递函数为
　(2)
下面分别介绍比例调节器、积分调节器和微分调节器的作用：
(1)比例调节器：比例调节器对偏差是即时反应的，偏差一旦出现，调节器立即产生控制作用，使输出量朝着减小偏差的方向变化，控制作用的强弱取决于比例系数kp。比例调节器虽然简单快速，但对于系统响应为有限值的控制对象存在静差。加大比例系数kp可以减小静差，但是kp过大时，会使系统的动态质量变坏，引起输出量振荡，甚至导致闭环系统不稳定。
(2)积分调节器：为了消除在比例调节中的残余静差，可在比例调节的基础上加入积分调节。积分调节具有累积成分，只要偏差e不为零，它将通过累积作用影响控制量u，从而减小偏差，直到偏差为零。积分时间常数ti大，则积分作用弱，反之强。增大ti将减慢消除静差的过程，但可减小超调，提高稳定性。引入积分调节的代价是降低系统的快速性。
(3)微分调节器：为加快控制过程，有必要在偏差出现或变化的瞬间，按偏差变化的趋向进行控制，使偏差消灭在萌芽状态，这就是微分调节的原理。微分作用的加入将有助于减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定。
计算机控制系统是一种采样控制系统，其只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。因此，利用外接矩形法进行数值积分，一阶后向差分进行数值微分，当选定采样周期为t时，有
　(3)
如果采样周期足够小，这种离散逼近相当准确。上式中，ui为全量输出，它对应于被控对象的执行机构第i次采样时刻应达到的位置，因此，该式称为pid位置型控制算式。
可以看出，按上式计算ui时，输出值与过去所有状态有关。当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量时，由上式可导出下面的公式：
(4
式(4)称为增量型pid控制算式。该式还可以写成
(5)
式(5.22)称为递推型pid控制算式。增量型控制算式具有以下优点：
(1)计算机只输出控制增量，即执行机构位置的变化部分，因而误动作影响小；
(2)在i时刻的输出ui，只需用到此时刻的偏差，以及前一时刻，前两时刻的偏差ei-1，ei-2和前一次的输出值ui-1，这大大节约了内存和计算时间；
(3)在进行手动-自动切换时，控制量冲击小，能够较平滑地过渡。
控制过程的计算机要求有很强的实时性，用微型计算机作为数字控制器时，由于字长和运算速度的限制，必须采用必要的方法来加快计算速度。下面介绍简化算式的方法.
按照式(5)表示的递推型pid算式,计算出每输出一次ui,要作四次加法，两次减法,四次乘法和两次除法。若将该式稍加合并整理写成如下形式：
(6)
其中
可以离线算出，即可加快算法程序的运算速度。
按上式编制的数字控制器的程序框图如图2所示。
图2 递推型pid控制器程序框图